VXAceを新しいPCにインストールすることに成功しました。
認証周りがどうなっているのかちょっと心配だったのですが、アップデートを入れるとメールアドレスと認証キーの入力だけで、無事起動することが出来ました。アップデートすれば秘密の質問とその答えのような二段階認証のようなものはないです。おそらく現在はその認証は無効になっているんじゃないかなと思います。

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このアップデートの存在を認識できていないと、再インストールできない事態になりそうなので一応ここに改めて書いておきます。
ツクール公式サイトのサポート→アップデート→RPGツクールVXAceに進んでページの最後の方にある「アップデートファイルはこちら」をクリックするとアップデートダウンロードされます。